선형 대수, Linear Algebra [게임수학]

 

선형 대수는 일반적으로 대학교에서 배우는데

솔직히 중,고등학교 교육과정을 이해했다면 혼자서도 이해할 수 있는 과목이다.

사실... 어렵긴 하다. 그냥 말해봤다.

한 번 알아보자

 

 

---

 

대수와 선형 대수는 뭐가 다르길래 다르게 부르는 것일까?

 

 

대수란 대신하는 수라는 의미로 미지수를 사용하는 수학을 말한다.

x,y 와 같은 미지수를 풀어내는 수학이라고 할 수 있다.

 

 

여기서 선형이 붙었다는 것인데 영어로는 Linear 라고 한다.

 

수학에서의 선형성 대한 정의다. 

 

 

 

선형은 선형 함수에 대한 정의이다. 결국 입력 값을 출력 값을 나오는 형태를 변환의 한 종류라고 볼 수 있다.

선형 함수나 선형 변환이나 같다고 보면 된다. 

 

위키에는 이렇게 나와있다.

"선형"이라는 성질은 행렬과 동전의 양면과 같은 관계를 가지고 있다. 어떤 연산이 선형이라면 그것은 행렬로 표현이 가능하며, 어떤 행렬은 반대로 어떤 선형연산으로 해석될 수 있다. 이 선형대수학의 행렬이론은 수학의 이론뿐만 아니라 물리학, 전자공학, 컴퓨터 그래픽, 기계공학 등에 널리 쓰이고 있다.

 

 

 

근데 저 위의 식을 보다보면

함수가 반드시 1차여야만 한다는 것을 알 수 있다. 

아무 2차함수나 넣어보면 알 수 있다.

 

 

여러 가지 함수를 넣다보면 선형함수의 조건을 알 수 있을 것이다.

 

결국 선형 대수라는 수학은 이러한 선형 함수(선형 변환)을 하는 학문이다.

 

하지만 이렇게 간단해 보이는 선형대수학이 어려운 이유는 벡터에 적용되면서부터 어려워진다.

 

---

그래서 어디에 쓰인다는 건데?

 

선형대수학은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한 분야이다. 현대 선형대수학은 그중에서도 벡터 공간이 주 연구 대상이다. 추상대수학, 함수해석학에 널리 쓰이고 있다.

 

와 이렇게나 많이 쓰인다고??

아하? 정말 중요하구나!!

 

주 연구대상인 벡터 공간이 뭘까?

 

공간(space)는 어떠한 영역으로 그 안에 값들이 모여있는 집합(set)이라고 보면 쉽다.

??

다시 말하자면 함수에 정의역, 치역, 공역이란 영역이 있듯이 벡터 공간에서도 어떠한 조건을 만족하는 공간을 말하며 그 공간에는 값들이 모여있다고 생각하면 되겠다.

 

?? 벡터는 크기와 방향을 가지는 것 아닌가요??? 라고 할 수 있는데

우리가 지금껏 배워온 벡터는 사실 유클리디안 벡터(Euclidean Vector)다. 

기하학적인 공간에서 길이와 방향을 가진 선분으로 표시하는 것으로 우리는 배웠다.

 

하지만 우리가 다룰 벡터는 조금 더 복잡한 개념이다.

 

벡터 공간을 수학적으로 정의해보자

체 F 에 대하여 집합 V 가 체 F 위의 벡터 공간(vector space)이라 함은, V가 F의 F-가군(module)인 것이다.

이때 F 를 V 의 스칼라라고 한다.

 

??? 뭐라는거야??

 

집합 V 에 대해 풀어서 말해보자면

1. 집합 V 는 덧셈에 닫혀있다.

2. 집합 V 는 상수배의 곱에대해 닫혀있다.

 

1,2의 조건을 만족하는 집합을 우리는 공간(space)라고 부를 수 있다.

 

 

그렇다면 ? 벡터공간은 어떤 조건을 만족해야 하느냐?

아래의 조건을 만족해야 한다.

 

아래의 조건은 공간의 조건 + 8가지 조건이다.

 

 

덧셈에 대한 항등원,역원이 존재한다.

덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙 성립

등등 여러 조건이 있다. 보면 안다.

 

결국 벡터 공간의 핵심은

어떤 공간에 속한 임의의 원소들에다 위의 연산을 적용해도 결과는 다시 그 공간에 속해야 한다는 것이다.

이 조건을 만족하면 해당 공간이 벡터 공간이 되는 것이다.

 

---

 

근데 왜 벡터 공간을 배웠을까?? 이게 선형함수랑 상관이 있나??

 

이쯤에서 선형함수의 조건을 다시 보자.

 

첫번째 조건을 보면

벡터 공간에서 덧셈에 닫혀있는 부분과 비슷하다는 느낌이 오나?

1번 조건과 비슷하지 않나?

 

 

풀어서 말하자면

f(x) + f(y) 즉, f로 연산된 값들이 다시 f(x+y)의 값으로 다시 f로 연산된 값으로 나온다는 것이다.

 

두번째 조건을 보면 

6번 조건과 비슷해보이지 않나?

 

f로 연산된 값에 스칼라 곱을 해도 어차피 f의 스칼라곱을 연산한 것과 같아진다는 말이다.

 

 

결국 선형 함수와 벡터 공간이 어떤 관계냐??

 

 

선형 함수의 결과값들이 모인, 다시 말해서 선형 함수의 치역들이 벡터 공간이 된다는 것을 알 수 있다.

즉, 하나의 벡터를 선형 변환해서 다른 벡터로 변환이 가능하다는 말이다.

그리고 선형 함수는 행렬로 표현이 가능하므로 벡터들의 변환을 행렬로도 표현이 가능하다는 얘기다.

 

이 후 벡터를 다룰 때 위의 설명을 기반으로 알아보려고 한다. 알아두자

 

 

 

---

참고링크

 

ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99

namu.wiki/w/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99