벡터(Vector) - 1 [게임수학]

이전에 선형대수에서 벡터공간을 알아보았고 선형변환에 대해 알아보았다.

우리는 이미 벡터란 개념을 배웠지만 여기서 살짝 찍먹 한 번 더... 하고 넘어간 후

다시 깊게 들어가보자

 

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요즘 과정에서 기하와 벡터가 빠졌다고 들었지만...

어차피 배운 사람도 벡터 가물가물하다. 

우리가 배운 벡터들은 유클리디안 벡터, Euclidean Vector이다. 여기에 대해 살짝 찍먹 해보자

 

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유클리드는 정말 있어보이는 이름이고 많이 들어봤을 것이다.

솔직히 검색해서 이걸 찾을 정도의 사람이면 유클리드 기하학이라는 말을 살다가 한 번쯤은 들어봤을 것이다.

 

우리는 유클리드 공간이란 말을 배우게 되는데

유클리드 공간이란 말은 직접적으로 배우진 않았겠지만 유클리드 공간의 이해는 우리는 좌표계로서 이해하였다. 

공간이라면 x,y,z 축으로 이루어진 좌표계를 바탕으로 우리는 중,고등학교 때 배웠다.

**이러한 좌표계는 데카르트의 카르테지안 좌표계(Cartesian coordinate system,직교좌표계)을 사용해서 배운다.

 

유클리드 공간이란 머나먼 개념은 이제 좌표계를 통해 우리에게 친숙한 공간이 되었고 이를 기반으로 벡터를 이해할 것이다.

 

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우리는 3차원 공간에서 벡터를 배울 것이다.

 

이 공간에서 벡터는 크기와 방향을 가진 것으로 화살표가 있는 선분이라고 생각할 수 있다.

또한 벡터에는 위치의 개념이 없다.

즉, 우리가 보이는 위치는 달라다 크기와 방향이 같다면 그것은 같은 벡터라고 볼 수 있다.

 

**벡터의 크기가 1인 벡터를 단위 벡터라고 한다. (unit vector) 

++우리는 흔히 정규화(normalization)를 시켜 크기를 1로 만들기도 한다.

 

**벡터의 크기가 0이면 영 벡터( zero vector, null vector)라고 부른다.

 

이전의 벡터 공간에 대해서 배웠듯이 

이 공간에서의 벡터들은 두 연산, 덧셈, 스칼라 곱이 존재하고 연산 결과 역시 같은 벡터 공간에 존재하는 벡터가 된다.

 

** 여기서 말하는 스칼라, 즉, 벡터 공간을 정의하기 위한 체는 실수체이다.

 

 

 

이 연산을 수식으로 어떻게 표현할 수 있을까?

 

즉, 3차원 공간의 벡터를 어떻게 수식으로 표현할 수 있을까?

 

 

선형 조합(Linear combination)과 기저(basis)에 대한 이해가 있다면 위와 같이 표현 가능하다.

다시 말해서, 주어진 벡터들의 집합 S = {v1,v2..vn} 이라고 할 때 선형조합은 위와 같이 나타난다.

 

s값들은 임의의 스칼라 값이 된다.

 

즉, S에서 파생된 무수히 많은 조합들을 다시 하나의 집합으로 묶자. 만약 이 집합이 벡터 공간을 이룬다면 우리는 S가 벡터 공간을 생성(span) 한다고 말할 수 있다.

이 때 S가 어떤 특정 조건을 만족하면  S가 벡터공간을 만드는 기저(basis)가 된다고 말할 수 있다.

 

이 특정 조건은

바로 S의 원소들이 선형 독립되어 있다는 것이다.(Linear independent)

**선형 독립이란 다른 어떠한 나머지 원소로도 다른 원소를 만들 수 없다는 것이다. 

 

쉽게 말하면 (1,0,0)을 표현할 때, y좌표의 값과 z 좌표의 값을 아무리 연산을 해도 X 좌표의 1 값 하나를 못만든다.

이런 것이 독립이라고 보면 된다.

 

즉, 어떠한 공간을 형성하는 기저(basis)가 공간을 만든다고 볼 수 있다.

-> 이러한 벡터를 기저 벡터(basis vector)라고 한다.

 

 

위의 2차원 공간을 만들 수 있는 기저 벡터는 무수히 많다. 

서로 평행하지 않는 두 벡터를 원소로 가진 모든 공간은 2차원 공간을 생성할 수 있는 것이다.

 

이를 3차원에 적용해도 마찬가지다.

 

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나는 차원이라는 뜻을 정보의 표현이라고 본다.

3차원이면 3가지 정보를 보여준다고 볼 수 있다. 그렇다면 우리는 어디에 살고 있을까?

우리는 4차원에 살고 있다고 생각한다. (3차원 + 시간)

우리는 시간이라는 정보가 하나 더 있다. 이는 항상 엔트로피가 증가하는 방향으로 진행된다.

(차원이 나와서 그냥 생각해봤다)

 

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다시 돌아와서

우리는 벡터라는 것을, 추상적으로만, 생각으로만 존재하던 것을 시각화할 수 있다.

위의 식과 같이 표현할 수 있다는 것이다.

 

덧셈, 스칼라곱도 마찬가지다. 

 

다음에는 내적과 외적을 살짝 찍먹해보자.

 

 

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더 자세히 알고 싶다면 "수학으로 시작하는 3D 게임 개발" 읽어도 된다. 나도 읽었다.