이제 전자가 존재할 확률이 50%인 페르미 레벨도 배웠으니까
캐리어에 대해 공부해보자
전하 캐리어 분포 다이어그램이다.
**4번째 그림에서 왜 전자가 가장 밑에 쏠려서 안정된 위치에 있는 것보다 조금 위에 전자가 더 많냐면 state가 Ec 조금 위에 몰려있어서 그렇다.
페르미 레벨을 다시 해석해보면
f(E) : 전자가 있을 확률 , 1-f(E) 전자가 없을 확률 = 정공이 있을 확률
이렇게 볼 수도 있다.
이제 가장 중요한 캐리어 농도에 대해서 알아볼 것이다.
우선 들어가기 전 알아놓고 가자
Dc(E) dE : (단위부피당) E and E + dE 사이에 존재하는 energy state의 개수
f(E) Dc(E) dE : (단위부피당) E and E + dE 사이에 존재하는 전자의 개수
단위 부피당 conduction band 내에 존재하는 전자의 개수 (전자농도)를 구할 것이다
*Gamma function은 왜 저런값이 나오는지 알 필요 없다. 그냥 받아들여라
* Nc : effective density of states of the conduction band (유효 상태 밀도)로
전도대의 모든 에너지 상태가 Ec로 압착되었다고 생각할 때의 effective한 DOS를 의미
결국 n 전자의 개수는 저렇게 구해진다.
** 결과 식은 꼭 알아야 한다.
반대로 p 정공의 갯수는 어떻게 구할까?
아까 말했듯이 1-f(E)로 구한다.
단위 부피당 valence band 내에 존재하는 정공의 개수 (정공농도) 를 구해보자
*Nv : effective density of states of the valence band (유효 상태 밀도)로
Valence band의 모든 에너지 상태가 EV로 압착되었다고 생각할 때의 effective한 DOS.
** 결과식은 꼭 알아야 한다.
++2가지를 살펴보면 Ec와 Ef관계와 Ev와 Ef의 관계를 알 수 있다.
Ef가 커지면 n의 값이 커진다. 즉 페르미 준위가 Ec랑 가까워지면 n이 커진다는 뜻이다.
반대로 p가 많아진다? Ef가 Ev에 가깝다는 것이다.
예제를 하나 풀고 가면 이해가 확실히 될 것이다.
문제
300K의 실리콘에서 n = 1017cm-3 인 경우와 p = 1014cm-3 인 경우의 에너지 밴드에서의
페르미 준위의 위치를 구하라.
**kT는 0.026eV로 항상 주어지는 값이다. (T = 300K)
우리는 도핑을 하기 전 반도체를 알 필요가 있다.
그것을 진성반도체(intrinsic semiconductor)라고 하는데 도핑을 하지 않은 순수반도체의 경우, 전자와 홀은 순수하게 열적으로만 생성. 이때는 전자와 홀의 농도가 같다.(n=p=ni)
*전자와 홀의 농도가 같기 때문에 알고 가야한다.
그렇다면 진성반도체의 페르미 레벨은 어떻게 될까?
*Ef는 거의 Eg의 1/2임을 볼 수 있다.(하지만 1/2는 아니다)
온도에 따른 페르미 레벨 변화도 한 번 알아보자
EF 는 온도가 높을수록 Ei 에 가까워지며, 도핑 농도가 높을수록 Ec 또는 Ev 에 가까워진다.
Degenerate Semiconductor : 도핑 농도가 높은 경우에는 EF 가 Ec가 Ev에 접근하게 되고
앞에서 사용된 볼츠만 근사가 더 이상 유효하지 않게 된다.
Fermi-dirac integral을 사용해야 함.
전자농도와 홀농도의 곱과 진성 캐리어 농도를 비교해보자
*전자와 홀의 농도의 곱은 도핑의 종류 및 농도와 무관하며 항상 일정함을 알 수 있다.
(단, 열적 평형상태의 경우에만 ++ 앞의 유도에서 사용된 페르미-디락 함수는
열적 평형상태를 가정이 들어가 있음.)
그래서 또 예를 들자면
++진성캐리어 농도(ni) : Si의 경우 1.5ⅹ10^10 cm-3
실리콘은 알아두자
또한 용어 Major carrier, Minor Carrier가 나온다.
다수 캐리어(majority carrier)와 소수 캐리어(minority carrier)
N형 반도체에서는 전자가 다수 캐리어 이고, 홀이 소수 캐리어이다.
P형 반도체에서는 홀이 다수 캐리어이고, 전자가 소수 캐리어이다.
(일반적으로 다수 캐리어는 소수 캐리어에 비하여 1010 ~1019 배 정도로 매우 크므로 소수 캐리어는 무시 가능한 경우가 많다.)
진성반도체에서 알아봤으니 일반 반도체에선 어떨까?
*** 전하 중성(charge neutrality) : 도핑의 종류에 상관없이 모든 반도체는 전기적으로 중성을 띠고 있다. (의도적으로 전하를 주입하지 않는 한)
다시 말해서 이 식이 성립한다.
양전하는 정공과 양이온
음전하는 전자와 음이온
상온에서 모든 donor와 acceptor 들은 이온화 된다는 뜻이다.
전하 중성이기 때문에
밑의 식을 유도할 수 있다
이런 복잡한 식을 외워야하느냐? 외울 필요없다. 근사화 할거라서 ㅎㅎ
하지만 도핑된 반도체에서 Major, Minor carrier가 있기 마련이고
우리는 Minor가 무시 될 수 있다는 것을 안다.
그래서 위의 식에서 또 다시 근사화를 시킬 수 있다.
*Dophant compensation 이라 donor를 집어넣고 Acceptor를 집어넣으면
서로 상쇄되므로 실제 생긴 전자를 뜻한다.
그래서 저기 뺄셈이 나온것이다. (p라면 실제로 생긴 정공을 뜻하겠지)
**위의 근사화된 식은 기억해두자
예제를 또 풀어볼까
++그리고 극저온 상태와 극고온 상태에서의 캐리어 농도도 참고로 알아보자
극고온 : ni 가 매우 큰 값이 되고, 실제로 도핑된 양보다 훨씬 많아 질 수 있다.
따라서 이런 식이 된다. n = p = ni
극저온 : 도펀트 원자들이 이온화 되지 않은 상태로 남을 수 있다. 즉, 실제 캐리어의 농도가 도핑 된 농도보다 작아지게 된다.
* freeze-out 구간에서는 이온화되는데 에너지가 50mV밖에 안되는데도 이온화가 되지 않는다
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