아핀 공간, Affine Space - 2 [게임수학]

저번 시간에는 선을 배웠으니

이제 면을 배워볼 시간이다.

 

선을 만들 때

두 점의 아핀 조합을 통해 만들었다.

면을 만들 때는

세 점의 아핀 조합을 통해서 만든다.

 

알아보자

 

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면도 매개변수 방정식으로 표현될 것 같다는 느낌이 든다.

맞다.

 

한 평면에 점 3개  A, B, C가 있다면 저렇게 표현할 수 있다.

 

어디서 많이 봤다. 

평면의 방정식에서 본거 같은데?

 

점과 점의 뺄셈 계산으로 벡터를 만들어서  점 하나와 2개의 벡터 계산으로 바꿀 수 있다.

 

 

++3차원 공간에서 선을 표현할 때는 매개변수 방정식으로 많이 표현하지만

++3차원 공간에서 면을 표현할 때는 매개변수 방정식도 괜찮지만 일반화해서 나타낼 수 있다.

-> 3D 게임에서 평면을 다룰 땐 매개변수보다 일반화 방정식이 더 이해하기 편함.

뒤에 이유 나옴

 

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우리는 고등학교에서 어떻게 배웠냐??

 

한 점과 법선벡터가 있다.

각각 P , n이다.

 

 

2개 있으면 ㅇㅋ 평면 다만든다.

 

임의의 평면의 점 Q에 대해서 성립해야 그것이 평면이다.

 

 

즉, 어떤 Q를 잡더라도 그 벡터와 법선벡터를 내적하면 0이 나와야 한다.

왜냐..? 법선벡터 정의가 평면에 수직인 벡터니까

 

 

와 우리가 알던 평면의 방정식이다!!

 

매개변수 너무 어려웠는데 기하학적으로 해석하니까 너무 좋다 ㅎㅎ

 

여기서 n과 P의 내적이 생기는데 이걸 d로만 고치면 교과서에 그대로 나와있는 식이 된다.

 

 

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우리는 이렇게 알고 있지만

법선벡터는 단위벡터인게 좋다. 

-> 점과 평면 직선거리를 쉽게 구함

**당연히 정규화시키려면 크기로 나누면 된다. 나머지 성분들도 변한다는 것을 유의하자.

 

 

우리는 평소에 한 점과 법선벡터로 평면의 방정식을 구했다.

그렇다면 세 점으로는 어떻게 평면을 구할까?

짧게 말하면 세점으로 2개의 벡터를 만들고 외적을 하면 법선벡터가 나올 것이다.

또 나머지 한점으로 위와 똑같이 진행하면 된다.

-> 사실 고등학교에서는 외적은 교과과정 밖이라고 다르게 구했지만..ㅎ 

 

 

하지만 여기서 법선 벡터가 2개가 나올 수 있다.

우리가 생각하는 앞으로 나올지, 뒤로 나올지는 외적의 계산 순서에 따른다.

 

동일한 평면을 가리키지만 평면의 방향은 게임에서 중요한 의미를 가진다.

** 공간의 임의의 점이 평면의 앞에 있는지 뒤에 있는지를 평면의 방향을 기준으로 판단하기 때문이다.

 

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??? 그게 무슨 소리???

 

예를 들어 절두체라는 공간을 가져온다. 

**절두체란 이렇게 6개의 평면으로 닫힌 공간이다.

 

평면의 법선벡터가 화살표 방향이라면

저 공간 안에 있는 점은 모든 평면에 대해서 앞의 방향에 존재한다고 말할 수 있다.

 

저런식으로 우리가 평면으로 둘러쌓여 만들어진 공간이 있을 때 평면의 방향이 아주 중요한 의미를 가진다.

** 우리가 게임 속에서 보는 3D 오브젝트는 면으로 이루어졌다고 볼 수 있다. 겉과 안을 구분하는 것은 정말 중요한 의미를 가질 것이다.

 

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??? 근데 수식적으로는 앞인지 뒤인지 어떻게 알아????

 

그냥 그 점을 대입해보면 된다.

 

계산해서 양수나오면 앞에 있고

음수 나오면 뒤에 있다.

당연히 0 나오면 평면 상에 있다.

 

매개변수가 아니라 일반화 방정식으로 쓰이는 이유가 여기 있다.

바로 대입하면 어디에 있는지 알 수 있다.

 

**아까 법선벡터가 단위벡터면 좋다고 했지.

법선벡터가 단위 벡터라면 그 점을 대입한 값을 절댓값 취하면 바로 그 점과 평면 사이의 거리가 된다.

아니면 법선벡터의 크기만큼 나눠주면 된다.

 

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임의의 점이 주어졌을 때 같은 평면 상에 존재하는지 구별하는 법을 알고

면은 여기서 그만 마치도록 하자.

 

A, B, C, D 가 주어졌다.

++ 아무래도 평면의 방정식의 본질을 이용하니까 법선벡터를 이용할 것 같다는 느낌이다.

 

각 점을 이용해서 벡터를 만든다.

 

4 점이 다 같은 평면상에 있다면

3개 중 2개의 벡터는 외적하고 그 결과를 나머지 남은 벡터와 내적해서 0이 나오면 그 3개의 벡터는 동일 평면 상에 존재한다고 말할 수 있다.