아핀 공간, Affine Space - 3 [게임수학]

 

 

이제 마지막이다.

3D 게임에 가장 많이 쓰이는 삼각형에 대해 공부해보자

 

왜 삼각형이냐..?

사각형이 아니라?

사실 사각형이 삼각형 2개다.

가장 작은 도형이 삼각형이란 얘기다.

삼각형보다 큰 도형들은 다 쪼개버릴 수 있다.

 

또한 삼각형은 세 점이 항상 동일 평면 위에 존재할 수 있는 유일한 도형이다.

** 삼각대가 왜 다리가 3개?? -> 평면을 만들 수 있어서 중심을 잡는 것

 

삼각형에 색을 칠하면 그제서야 우리는 볼 수 있다.

 

삼각형이 이루는 3차원 모델 함 배워보자

 

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위키백과

 

선들로 닫혀진 공간이 바로 삼각형이 된다.

 

++ 사실 다각형이라고 하는 경우가 더 많다. (Polygon)

 

이 폴리곤을 이루는 점을 Vertex 라고 부르고 삼각형은 볼록다각형, convex polygon 이라고 한다.

 

왜 볼록이라고 하냐?

1. 이어진 두 선분이 이루는 각이 180도 보다는 작거나 같다.

2. 임의의 두 꼭지점을 이은 선은 다각형의 내부에 있거나 다각형을 이루는 선 중에 하나다.

 

 

그냥 용어니까 알고 넘어가자

 

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저번에도 평면의 앞에 있는지 뒤에 있는지가 중요하듯이

여기서도 어떠한 점이 삼각형의 안에 있는지 밖에 있는지도 중요하다.

A,B,C는 삼각형의 점이고 삼각형 안에 점 D가 있다고 가정하자

 

동일 평면상에 있는지는 이전 글에서 4개의 점에 대해 확인하는 법을 배웠다.

하지만 다르게 해보자.

 

 

아무튼 이 4점으로 부터 다시 벡터 6개가 정의된다.

 

u 벡터들은 A,B,C 순서대로 이름을 붙였고

 

 

v벡터들은 반시계방향으로 A부터 구했다.

 

외적은 다음과 같이 했다.

 

만약 점 D가 삼각형의 안에 있다면

외적한 결과값 w1~w3이 같아진다.

다같이 시계방향으로 외적 순서가 되었다.

 

 

하지만 밖에 있을 경우

한 벡터의 방향이 반대로 된다.

 

외적한 결과는 외적하는 순서에 따라 결정된다고 했다.

 

외적한 결과가 달라지므로. 구분할 수가 있게 된다.

즉, 아래 조건을 만족하면 삼각형 안에 점이 존재하는 것이다.

 

 

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하지만 여기서 매개변수가 쓰인다.

면을 다룰 때 괜히 일반방정식과 매개변수 방정식 둘다 배우는 것이 아니다.

면을 표현할 때는 이게 더 편했지만

이 같이 삼각형 내부범위를 조사하는 일에는 매개변수가 더 좋다고 한다.

 

세 점으로 이 식을 유도하자.

 

직선의 방정식을 매개변수에 범위를 주어 선분으로 만들거나 했던 것을 생각하자.

즉, 면의 방정식도 매개변수에 범위를 주어 삼각형으로 만들 수 있다는 것이다.

 

 

s+t < 1 의 조건을 만족하면 점 A, B, C가 이루는 삼각형이 되고

삼각형 안의 모든 점들을 점 A와 어떤 벡터와의 합으로 표현된다면

그 벡터는 s = B-A,  t =  C-A 벡터가 된다 (기저벡터 -> 아핀조합)

 

 

 

즉, D가 삼각형 안에 점이 있다면 

점 D를 표현했을 때 -> A와 기저벡터의 덧셈

s + t의 합이 1보다 작게 나올 것이다.

 

 

하지만 s,t를 구하는 것은 쉽지 않다.

때문에 식에 각각 u와 v 벡터를 내적해준다.

 

s,t에 대해서 정리하면 이렇게 나온단다.

 

s+t를 조사하면 된다.

 

이와 마찬가지로 일반 방정식으로도 풀 수 있으나 매개변수 방정식이 더 빠르기에(아핀조합)

이렇게 이용한다.

 

이건 이렇다고 알고 넘어가자

이해는 추상적으로 해도 괜찮다.