논리적 추론 ++

이 글을 바탕으로 확장해보자

 

 

 

새로운 용어도 살짝 배워보고 그러자

 

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역, 이, 대우에 대해서 설명하지 않았는데

 

P → Q에 대해서

1. Q → P를 역(converse)이라 한다. 
2. ￢Q → ￢P를 대우(contrapositive)라 한다. 
3. ￢P → ￢Q를 이(inverse)라고 한다.

 

논리 함축에서 역, 이, 대우가 나왔다.

 

단어들이 약간 어렵지만 알아둬야하는 사항이다. 

++상식인듯

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또한 명제에도 종류가 있다.

1. 항진 명제

2. 모순 명제

3. 사건 명제

 

 

1. 항진 명제(tautology)

항상 참의 진리값을 가지는 명제

 

2. 모순 명제(contradiction)

항상 거짓의 진리값을 가지는 명제

 

3. 사건 명제(contingency)

항진 명제나 모순 명제가 아닌 나머지 명제들

 

이것 또한 알아두면 좋은 단어들

 

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단어 몇개 더 배웠으니까 이제 지식을 확장해보자

 

명제들을 보면 엄청 길어지면 엄청 길어질 것 같다. 하지만 엄청 길면 연산이 정말 귀찮아지므로

사람들은 합성 명제들을 줄이는 방법에 대해서 연구했겠지??

 

하지만 짧아지더라도 의미는 변하면 안되고 그렇게 고심 끝에 항등관계(identity)가 나왔다.

 

 

고등 수학에 집합과 명제라고 해서 살짝 배웠는데

 

지금은 없다는 것 같기도 하고??

 

아무튼 긴 식을 줄일 수도 모양을 바꿀 수도 있는 항등 관계에 대해서 정의를 했고

 

드 모르간, 논리적 함축, 논리적 동치 정도는 알아두는게 좋을 거라고 생각했다.

 

++ 교환, 분배는 곱셈과 살짝 다르긴 하지만 비슷하니까!!

 

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그래서 P, Q, R로 나오는 명제들은 다 알겠는데 실제의 문장은 어떻게 수학적으로 바꾸느냐??

 

그래서 논리적 추론을 할 때는 명제들을 간단하고 쉽게 바꾸어야 하는데

현실의 문장은 복잡한 경우가 많아서 문제다.

 

**동사를 찾으면 해결되는 경우가 많다

 

그래서 우리는 명제를 쉽게 표현하기 위한 술어와 한정자라는 것을 배운다

 

1. 술어(predicate)

 

한 객체의 성질이나 객체와 객체 사이의 관계를 표현하는 것을 말한다.

 

?? 잘 모르겠다고

 

예를 들어보자

𝑥 is tall.”이라는 문장에서 𝑥를 변수라고 하고 tall을 술어라고 한다. 

술어의 특별한 표현 방법으로 T(x)라고 표현할 수 있는데 여기서 T를 술어라 하고 x를 개별 변수(individual variable)라고 한다. 
   

++개별 변수 : 술어의 특별한 표현 방법에서 괄호 안에 나타나는 변수 

 

일반적으로 P를 술어라 하면 P(𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛)에서 𝑥i (𝑖  =  1, … , 𝑛)를 개별 변수라 하고, P는 𝑛개의 인수(argument)를 갖는 술어라 한다

 

살짝 알 것 같긴한데 모르겠다고??

명제랑 술어가 뭔 관계냐고???

 

비슷하다. 술어는 명제로 바꿀 수 있다. 

그렇지만 이렇게 하기 위해서는 술어의 개별 변수를 한정시켜 주어야 한다. 술어의 개별 변수를 한정시켜주는 방법에는 개별 변수를 한 개의 값으로 한정시켜 주는 방법과 개별 변수를 그 변수의 한정자에 의해서 한정하는 두 가지 방법이 있다.

 

 

**그니까 한정을 시켜주지 않으면 참, 거짓으로 나눌 수 없다는 얘기다.

 

x+y = 3인데 ??? 참이냐 거짓이냐 물으면 ???

말할 수가 없다... ?

x,y값에 따라 다른거 아닌가요?? 라고 말해야한다.

 

그래서 참, 거짓으로 구별해주기 위해서는 변수를 한정시킬 필요가 있다.

 

 

 

그렇구나 그럼 이제 한정자를 알아보자
(한정자가 더 간단하다)

 

2. 한정자

 

앞서 말했듯이 변수를 한정하는 역할을 한다.

 

3가지의 한정자가 있으니 잘 보도록 하자

 

 

• 전체 한정자 
기호 ∀로 표시하고 “임의의” 혹은 “모든” 등으로 읽는다.

만약 P(𝒙)가 개별 변수 𝒙  를 인수로 갖는 술어라고 하면

명제 “임의의 𝒙, P(𝒙)”는 “𝒙 의 모든 값들에 대해서 명제 P(𝒙)는 참이다.”로 해석한다. 

 

• 존재 한정자 
기호 ∃로 표시하고 “어떤” 혹은 “적어도 하나에 대해서” 로 읽는다.

명제 “어떤 𝒙, P(𝒙)”는 “명제 P(𝒙)가 참이 되는 𝒙  의 값이 존재한다.”로 
해석한다. 

• 유일 한정자 
기호 ∃!로 표시하고 “～에 대한 유일한 x가 존재한다.” 로 읽는다.

명제 “어떤 𝒙  , P(𝒙  )”는 “명제 P(𝒙  )가 참이 되는 𝒙  의 값이 유일하게 존재한다”로 해석한다. 

 

 

++수학 증명 때 많이 쓰기도 한다. "임의"라는 단어가 많이 쓰이잖어

 

 

 

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그래서 지금까지 이전 글도 그렇고 이번 글도 그렇고 왜 이런 것들을 배웠느냐??

 

바로 추론을 하기위해서, 증명을 하기 위해서 배웠다.

 

여기서 추론이란

 

"어떤 명제가 참인 것을 근거로 하여 다른 명제가 참인 것을 유도해내는 것"

(logical inference)라고도 한다.

 

근거가 되는 명제를 가정, 전제라고 하고 (hypothesis, premise)

유도되는 명제를 결론이라고 한다.(conclusion)

 

 

즉 우리는 P -> Q를 보이고 싶어하는데 추론을 해서 유도하는 것이다.

 

그래서 꼭 알아둬야할 것들이 있다

 

바로 대체(substitution)이라고 한다

 

 

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대체라는 것은

한 명제에 있는 어떤 표현을 그것과 똑같은 의미 를 지닌 다른 표현으로 나타내는 것

 

즉 위에서 항등이랑 비슷하지만 살짝 다르다.

 

**가정을 참으로 둔다는 것이 차이점이다

 

표로 알아보자

 

 

 

 

++저기 점박이 3개는 "그러므로" 라고 보면되겠다. 즉 저 삼점박이 뒤에는 결론이 온다.

 

다시 말하면 삼점박이 앞에게 참이면 결론도 참이라는 것을 모아놓은 것들이 위에 있는 표다.

 

다음 글에서는 증명에 대해 알아보자