논리적 추론과 증명

우선 증명이란 가정에서 논리적 법칙을 이용하여 결론을 이끌어내는 것을 말한다.

이 때 추론이 참이면 진위(valid) 추론이라 하고, 추론이 거짓이면 허위(fallacious) 추론이라 한다.

 

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근데 증명을 대부분 어떻게 하느냐??

 

논리 함축 P → Q 를 증명하는 것이 대부분이다.  그래서 어떻게 해야하느냐??

 

우선 2가지 방법이다. 

 

1. 직접 증명 방법 : 진리를 근거로 논리 함축 P→Q를 직접 증명하는 것

 

2. 간접 증명 방법 : 논리적 동치를 이용하거나 다른 특수한 방법으로증명하는 것

 

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직접 증명이 3가지 정도가 있다.

 

접근하기는 쉽다.

 

접근하기 쉽다고는 했지만 실제로 증명이 될지는 나도 모르겠다 ㅋㅋ

 

 

(1) P→Q의 vacuous 증명 방법

P가 거짓이라 하면 P→Q는 항상 참이다. 그래서 P→Q가 참인 것을 보이기 위해 P가 거짓이라는 것만 보이면 된다.

 

 

(2) P→Q의 trivial 증명 방법
Q가 참이라고 하면 P→Q는 참이다. 그래서 P→Q가 참인 것을 보이기 위해 Q가 참이라는 것만 보이면 된다.

 

 

(3) P→Q의 직접 증명 방법
P가 참이라고 하면 P→Q가 참이기 위해서는 Q도 참이어야 한다.

 

 

 

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간접증명도 여러가지가 있다.

직접 증명이 어려울 때 쓰는 방법이다.

 

 

 

간접 증명(indirect proof) 방법
가정된 명제로부터 추론에 의해서 결론에 직접 도달되기가 어려운 경우 간접적으로 결론이 참인 것을 이끌어내는 방법

 

 

1. 대우를 이용하는 방법 : P→Q와 ￢Q→￢P가 논리적으로 동치이므로
￢Q→￢P가 참인 것을 증명함으로써 P→Q가 참인 것을 보여주는 것

 

 

2. 배리법(proof the contrapositive):명제 P가 참인 것을 보여주는데 ￢P가 거짓임을 보이는 것

//이름이 나도 왜 배리법인지 모른다. 근데 이름이지 않을까 싶다.

 

3. 존재증명(existence proof) :P(𝑥)를 𝑥라는 변수를 갖는 명제라고 할 때 P(𝑥)가 참인 𝑥가 존재함을 보이는 것이다. 즉, ∃𝑥 P(𝑥). 

 

4. 반례에 의한 반증의 방법반례에 의한 반증의 방법 : ∀𝑥 P(𝑥)의 형태를 가진 명제가 거짓임을 증명하는데 편리한 방법으로서 명제의 부정 ∃𝑥￢P(𝑥)가 참임을 보이면 된다. 이때 𝑥를 반례라 한다. 

 

 

5. 모순에 의한 반증의 방법모순에 의한 반증의 방법 : 주어진 명제가 거짓임을 보이기 위해서 그 명제가 참이라고 가정하여 이미 알고 있는 어떤 사실에 모순되는 결론을 유도하면 된다.

 

 

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또한 고등학교를 나왔으면 알 수 있는 수학적 귀납법이 되시겠다.

 

이것도 증명 방법인데 간단히 요약하자면 이렇다,

 

1. 초항 

2. N 과 N+1항 의 관계 (N = 자연수)

 

물론 내가 요약한 것이고

 

사전적의미를 살펴보자

 

여기까지만 하자.. 다음에 더 쓸게

 

 

여기까지만 하자.. 다음에 더 쓸게